SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Los egipcios representan una de las civilizaciones más antiguas y desarrolladas del mundo. Gracias a la existencia de los papiros de Rhind y de sus múltiples jeroglíficos es que se sabe algo acerca de su aritmética. Aunque emplearon el sistema duodecimal en la subdivisión del año (en doce meses, correspondientes a sus doce dioses principales) y del día (en doce horas de claridad y doce de tinieblas), su numeración era decimal y contaba con signos jeroglíficos para las cifras del uno al diez y para cien, mil, diez mil, cien mil y un millón.
Los babilonios, al igual que los egipcios, desarrollaron su propio sistema de numeración, ellos escribían sobre tablillas de arcilla, en donde utilizaban la escritura cuneiforme y no tenían ningún símbolo para representar el cero. Utilizaban un sistema de numeración de valor posicional a través de dos símbolos básicos en forma de cuña. Una en forma vertical para las unidades y otra en forma horizontal para las decenas. Los mayas inventaron un sistema de numeración en donde aparece por primera vez el cero, además de que su base era el veinte, ya que se cree, que tal vez sea por el hecho de contemplar los dedos de pies y manos. Esta civilización representó cada cantidad por medio de símbolos que según la posición que ocupaban adquiría cierto valor, es decir el sistema maya así como el decimal es un sistema de posiciones. El símbolo del cero en cualquier posición indica ausencia de cantidad. Los hindúes representaron con nueve símbolos diferentes, uno por cada número del uno al nueve. Éstos han cambiado con el tiempo, pero llegaron a Europa en su forma actual en el siglo XVI. Por su parte, los griegos y los hebreos, utilizaron nueve símbolos diferentes para estos números. En cada caso, los símbolos eran las primeras nueve letras de sus alfabetos. El Imperio Romano desarrolló un sistema de numeración que se usó en Europa hasta el siglo XVII. En la actualidad es muy conocido y se usa para indicar los tomos de una obra, los capítulos de un libro, el nombre del siglo, el nombre de una época, para las fechas, para los personajes de mismo nombre y las horas en las carátulas de algunos relojes. Las cifras están representadas con letras que tienen determinado valor:
En esta numeración la letra no depende de la posición que ésta tenga para que sea escrita. Para escribir con números romanos hay que tener en cuenta lo siguiente: a) Los valores de las cifras iguales se suman Ejemplos. III = 1+1+1= 3 XX = 10 +10 = 20 CCC= 100 +100 +100 = 300 b) Ninguna cifra puede repetirse más de tres veces seguidas Ejemplo. La expresión XXXXX = 10 +10 +10 +10 +10 = 50 es inválida. La forma correcta de representar a este número es: L = 50
Elementos de los sistemas de numeración
En esencia, un sistema de numeración puede definirse como un
conjunto de signos, relaciones, convenios y normas destinados a expresar de
modo gráfico y verbal el valor de los números y las cantidades numéricas.
En la actualidad, se usan predominantemente sistemas de
numeración de carácter posicional, donde cada numeral o guarismo representa un
valor distinto según la posición que ocupa en la cadena numérica (por ejemplo,
el numeral 1 significa unidad en la cantidad 1, pero es decena en 13, centena
en 148, etcétera).
En un sistema de numeración se contemplan varios elementos fundamentales:
La base del sistema, que se define como un convenio de
agrupación de sus unidades. Por ejemplo, la base 10 o decimal agrupa diez
unidades, mientras que la binaria únicamente agrupa dos.
Los numerales del sistema, o cifras elementales que se
utilizan, según la base. En el sistema decimal, se usan los numerales 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. En cambio, en el sistema binario tan sólo se emplean el 0
y el 1.
Las normas de combinación de los numerales para formar los
números. Según ello, a cada cifra se le asocian dos propiedades: su valor
absoluto intrínseco y su valor posicional o relativo, que depende de la
posición que ocupa en la cantidad numérica.
Dado un número n escrito como la sucesión de numerales
a0a1a2...an-1, an en la base b, puede descomponerse en forma polinómica del
modo siguiente:
El sistema decimal
El sistema decimal, el más utilizado en todos los ámbitos de
la actividad humana, se distingue por las siguientes características:
Utiliza una base 10.
Sus numerales son las cifras del 0 al 9, ambas incluidas.
Las posiciones relativas de los números se denominan
unidades, decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar, centenas de
millar, unidades de millón, etc.
La forma polinómica de un número en el sistema decimal es la siguiente:
El sistema binario
Utilizado por los ordenadores y otros tipos de dispositivos y sistemas, el sistema binario se caracteriza por emplear una base 2 y los numerales 0 y 1.
Este sistema, muy práctico para los cálculos automatizados
con sistemas electrónicos digitales, es sin embargo un tanto engorroso en la
escritura cotidiana, ya que la expresión de las cantidades resulta muy larga.
Así, por ejemplo, el número 15 de la base decimal se expresaría en base binaria
como 1111, según el esquema de descomposición mostrado.
Expresión del número 15 en base binaria.
Cambios de base
Las equivalencias entre cantidades numéricas escritas en
diferentes bases de numeración se obtienen habitualmente mediante una
conversión intermedia a la base decimal. Así, por ejemplo, para escribir 341(5
en base 4 se procedería del modo siguiente:
Se convertiría 341(5 a base 10.
Se transformaría el resultado decimal obtenido a base 4.
Para pasar un número de una base cualquiera a la decimal, se recurre a la forma polinómica. Por ejemplo:
Para transformar un número de base decimal a otra base, se
divide por esta base tantas veces como sea necesario hasta obtener un resto
menor que la base; después, se anotan como numerales el último cociente y, en
orden inverso, los sucesivos restos obtenidos.
Expresión del número 96 en base 4.
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